尽管有了充分的思想准备，试讲时学生的种种问题还是让笔者措手不及。“不同的硬币抛出的结果是不同的”，“和你抛时旋转的力度有关”，甚至在铁证如山的皮尔逊24000次抛硬币的结果面前，学生仍坚持“我承认抛很多次是很公平的，但是裁判只抛一次，可能性就是不相等的，是不公平的”。面对学生的质疑，教者再次陷入了沉思，五花八门的说法，只基于一个同样的原因——学生没有理解“可能性”这一概念，同时说明构建“可能性”的概念非常困难。与其被动招架，不如主动出击！教师不再害怕、回避学生各种真实的想法，孤身一人搜寻证据以说服半信半疑的学生“可能性相等”，而是反其道行之，把所有的潜在的矛盾错误都揭示出来让学生想方设法来说服大家，让学生经历“可能性”这一概念的形成过程，而非教师强加给学生。正如科诺尔德（Konold）的许多研究都提到，要向人们清楚地解释一个随机概念，还不如让他们直接面对一个错误概念。

调整思路之后，就有了下面的片段——

师：有一个蛋糕，两个人吃。怎么分公平？

生：平均分，每人分得一样多。

师：现在把蛋糕换成球赛门票，有两个人都特别想看，怎么安排比较公平？

生1：（半开玩笑地）从中间撕开，撕成两半。

（学生大笑。）

生2：可以玩石头、剪子、布，谁赢了谁去。

生3：，还可以抽签，或者掷色子、抛硬币。

从分蛋糕到分球赛门票，抛硬币这一方案是学生为解决实际问题自然想出的，相比而言裁判抛硬币要显得生硬许多；更为重要的是，一开始就让学生在对两种公平——结果相等的绝对的公平和可能性相等的机会的公平的对比中更好地理解把握后者。

师：同学们想出了多种办法。我们先来讨论一下抛硬币这个办法。

（师请两位学生模拟甲和乙，商定抛到正面甲去，抛到反面乙去。抛一次，结果反面朝上。甲指指乙，示意乙赢了。）

师：现在，你们觉得抛硬币这个规则公平吗？

（大多数学生说：公平。）

乙：（小声地）好像不太公平。

（师好奇地示意乙说下去。乙不语。）

师：自己去了，好朋友没去成，有点不安。是吗？（乙点头。）

师：我采访一下甲同学，他去看球赛了，你呆在家里，你觉得抛硬币这个规则公平吗？

甲：公平。因为这个规则是我们事先商量好的，所以最后到底谁去谁也不知道。

生1：我也觉得这个规则是公平的，因为硬币正面和反面都是一个，要是有一个正面两个反面那就不公平了。

生2：我觉得正面和反面向上的机会都是50％，所以是公平的。

生3：你看，正面和反面都是圆形的，大小也一样，所以当然是公平的。

学生此时看起来明白得很，个别学生甚至还说到了50％这个没学过的数。但是明白表达的背后不一定是十分明白的思维——

师：我同意大家的观点。抛硬币是不是公平，不是看结果，而是要看机会。也就是看可能性是不是相等。可分析毕竟是分析，有什么事实能说明正反面向上的可能性相等呢？

生1：我觉得刚才抛一次不能说明问题，抛两次，应该一次正面，一次反面。

生2：我觉得抛两次很可能还是全部正面或全部反面朝上的，应该抛五六次。（生点头。）

师：行，就照大家的想法，咱们试着先抛10次。

（生实验之后汇报结果：正5，反5；正3，反7；正4，反6；正7，反3；正6，反4；正8，反2，等等。）

师：同学们坚持说正反面可能性相等，可从大家实验的结果看，除了正5反5之外，我看到的都是不相等！正8反2相差得也太多了，8可是2的4倍呢！凭什么你还能说可能性相等呢？

生1：（抛出正5反5的学生）我觉得他们一定是硬币没放正。你看，我让硬币正面在上面，然后我抛得很低，落下来保证是正面向上。

师（对抛出正反面不相等的学生）：你们是这样抛的吗？

生（众）：没有，我们是按规则抛的。

生2：我觉得用1元的硬币抛比较公平，他（指同桌）抛的是1元的硬币，正面和反面次数都相等；而我用5角的抛，结果正8反2，那是因为5角的正面花纹多，所以正面重，容易正面朝上。

（对生2“头头是道”的分析，不少学生点头表示赞同。）

师：挺有意思的一个发现！是不是其他抛1元、5角硬币的同学都有同样的结果？

几个学生表示反对。

相同的原因就会有相同的结果，不同的结果背后一定有不同的原因。学生在试图解释抛币实验结果时，用的就是这样严密而又简单的确定性的逻辑思维！怎样让学生自己发现这些潜在的错误认识？办法只有一个：以子之矛攻子之盾，学生用一部分事实得出结论，那就用另一部分事实否定这些结论！让孩子们从“明白”走向“糊涂”，由“振振有词”到“无言以对”是必需的阶段！

生3：我觉得可能性是相等的，因为大多数还是差不多的，只有个别同学抛到正8反2。

生4：因为每一次抛到的是正面还是反面是说不准的，所以碰巧就会有正8反2情况。

生5：我觉得就是相等的。就算你抛了10次，次数相差得很多，但是只要你抛下去，总有相等的时候！

师：（套用生5的话）那我也可以说：我觉得是不相等的！就算你抛了10次，正反面次数相等。但是只要你抛下去，总有不相等的时候。

生笑。

生6：有的是正面多，有的是反面多，总的来说是差不多的。

生7：（激动地）这么多次的抛币结果放在一起看，有正7反3就有正3反7；有正4反6就有正6反4；平均一下，正反面都是5次。

师：是啊，1个同学抛10次的结果，不能代表总体情况。“把这么多次的抛币结果放在一起看”是个好方法！可这些数据真像你说的那么对称吗？

学生煞费苦心地寻找绝对的次数的相等！当他们意识到这样的寻找只是徒劳之际，正是柳暗花明之时！

生8：我给你纠正一下，平均一下，正面比5次多一点。你看，有正8反2，却没有正2反8！

生9：还有一种办法，我们也可以把这些数据都加起来，就会发现正面一共是33，反面一共27次，是差不多的。

师：次数多了，一定有这个规律吗？

（第二次抛硬币，4人小组合作，共抛100次。）

根据学生实验的结果，制作出如下统计图。

师：观察这两个图，你有什么发现？

生1：我发现，正反面的次数都在一半上下，也就是说都在一半上下摆动。

生2：但是抛10次的，摆动的幅度很大；而抛100次，摆动的幅度就很小了。

生3：抛100次的，正反面的次数都很接近50！

师：很了不起的发现！同学们发现了吗？

（另请一位学生指图说他的发现。）

师：要是我们抛得次数更多，结果会怎么样呢？

生：正反面的次数会更接近！

师提供部分历史上著名的数学家抛硬币实验的结果：

学生惊叹：“哇，这么大！”

师：看着这个数据，你有什么想法？

生1：我特别佩服这些数学家，他们真有耐心！

生2：我发现抛得特别多，正反面次数果然非常接近！

生3：可是我有个问题：正面2048次，反面1992次，相差56次呢！不是比刚才抛10次，抛100次的差得更多了吗？

师：（故作不解地）是啊，相差得反而更多了？

生4：刚才只抛10次，100次，相差的当然会少，现在抛的次数多了，相差的自然就多了。

生5：尽管相差50多次，但那是几千次中的50次，所以其实差异是很小的。

生6：你看，费勒,皮尔逊抛了上万次，也只相差几十次。其实这个差异就更小了！

师：同学们对数的感觉真好！想象一下，把数学家的这些结果画成统计图，会是什么样的？

生，正反面的条形和中间一半的红线会非常接近！

出示统计图：

数学家抛硬币实验结果统计图

生感叹。

生1：（情不自禁地）几乎看不出来了！

师：看不出什么了？

生1：和中间那条红线都要重合了，几乎都是一半了！

生2：比我想象的还要接近！

教师不似通常所做的只进行一次数据汇总便得出结论（这种简单的推断本身也与概率思维相悖），而是借助直观的统计图，让学生一再比较、体验从10次到100次再到成千上万次的变化。学生恍然大悟：相等，原来就存在于不断逼近一半的过程之中！

师：同学们，皮尔逊抛了24000次，如果他再抛一次，第24001次会是什么结果呢？

生1：不一定，可能是正面，也可能是反面。

生2：我补充：不但正面反面都有可能，而且正面和反面的可能性相等。

由上万次又回到“这一次”，实现了大量重复实验的“频率”向一次实验的“概率”的回归。

师：请判断对错。抛两次硬币，一定一次正面向上，一次反面向上。

生，错。只抛两次，会有偶然性。

师：抛1000次，一定500次正面向上，500次反面向上。

生：错。

师：抛得次数很多，怎么也不对呢？

生1：不一定正好正反面次数完全一样的。

生2：正面向上的次数会在500左右，很接近500。

师：通过刚才的抛硬币，你能得出什么结论？

……

概率是一个既难教又难学的内容，因为概率有其固有的思想方法，有别于讲究因果关系的逻辑思维和确定性思维。要真正了解学生的思维，不仅要知道学生的观点，而且要知道他们是如何思考达到这个观点的。

笔者切身感受到要有效地教学概率和统计，就要增强教师的知识背景，增加概率统计的概念，正视学生和教师关于概率统计的观念。就拿这节《游戏公平》来说，当教者明白了陈希孺先生“概率就是当实验次数无限增大时频率的极限”的话语时，教学的勇气就增添了许多。C.R.劳先生指出：“对统计学的一知半解常常造成不必要的上当受骗，对统计学的一概排斥往往造成不必要的愚昧无知。”

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