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| 作者：北京师范… 文章来源： 点击数： 更新时间：2002-4-16 |
<b>摘要：</b>培养学生解决问题的能力是当前中小学数学教育的一个重要目标，但目前在解决问题的教学上还远远未取得它应该取得的效果。为此，本文试图从认识论和方法论的角度对解决问题的性质、过程以及与之相联系的学习者的特点和相应的教学策略加以探讨，以寻求建立一个符合学生认知发展规律、以学习者为中心的教学环境，从而促进学生解决问题的能力。
<b>关键词：</b>解决问题、以学习者为中心、知识建构与发展、认知方式、情感、教学策略
<b>一、引言</b>
获得解决问题的能力作为每一位儿童学习数学课程的一项目标，已越来越得到世界公认。事实上，重视解决问题已是各国课程标准的一个显著特点。然而，我们也知道，目前包括我国在内的大多数国家的许多学生在数学领域，尤其在解决问题这一目标上仍然面临许多困难，人们经常可以看到这样的现象，即学生们已经具有足够的数学知识，但却仍然不能有效地解决问题。可以说，在数学及解决问题上的教学还远远没有取得它应该取得的效果。对此，各国都在探求改善这一状态的策略和方法。
“数学应该是有趣的”，以使学生们喜欢数学，乐于去解决有关数学的问题；“数学问题应该贴近生活”，以使学生们能够理解它，并从中看到数学的应用价值与作用?大量的研究不断地提出各种教育观点与策略，以促进数学及解决问题的教学。在这些研究中，关于解决问题的最新进展集中地表现在以下的认识：即“解决问题”是一个包含有多个环节的复杂过程，研究的重点应放在对于解决问题全部过程的系统分析，特别是应当清楚地揭示那些对于解决问题有着十分重要影响，但又往往为人们所忽视的环节，如学生的认知方式、学生对解决问题过程的反省认知等等。
在针对影响解决问题的环节或因素的研究上，还有一个新的观点和趋势表现为关注与解决问题的学习和教学过程相联系的学生对于数学的观念。研究表明，教师与学生的数学价值观念对于学生解决问题的能力有着十分重要的影响。
然而，在大多数情形下，学校中的数学课程仍然被视为以教师的教授为主，强调掌握知识与技能的一门基础课。学生在学校里究竟发展了什么样的关于数学学习的态度、关于数学价值的个人观点呢？大量的调查表明，这些看似“隐性课程”带来的对数学教育的影响是不容忽视和乐观的。
例如，Buxton(1981)在他关于成人对数学恐惧的研究中总结出以下的看法：
数学在从学校毕业以后的成人观念中，较大程度地被视为：
（1）确定的，不可改变的，形式的，难操作和没有创造性；
（2）抽象的，与现实毫无联系的；
（3）只有少数人才能理解的秘诀；
（4）必须记忆的规则与事实的集合；
（5）其断言的某些结论是与常识相违背的；
（6）有时间限制的考试；
（7）不仅对个人的智力，而且对个人的人格做出评价的领域；
（8）大部分与计算有关。
在这样的观念下，解决问题的教学常常变成按题型分类，记忆题型的做法就不足为奇了；在这样的教学下，学生只会计算不会思考，只会机械的练习不会解决实际问题，就不足为奇了。至于通过数学与解决问题要发展的那些更为重要的目标（如理性精神、自信心等）则注定成为隐性的，未知的东西，无论在数学课程、数学教科书还是在数学测验中都很少受到人们的关注。
“解决问题”的提出是针对传统的数学教育思想与观念的，然而，如果我们对“解决问题”的性质、过程以及与之相联系的学习者的特点和相应的教学策略没有一个正确的认识，我们又将回到原来的道路上去。基于这样的思考，本文在以后的篇幅中将针对这些议题逐一展开探讨。
<b>二、解决问题的性质</b>
（一）问题的性质
在探讨“解决问题”的性质之前，我们必须先弄清楚与“解决问题”的性质直接相关的一个问题，即什么是“解决问题”中的问题。
根据心理学的定义，“解决问题”本身是个普通的术语，指的是人们在日常生活和社会实践中，面临新情境，新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动。由此可见，有了困难以后，才产生出问题。没有任何困难的“问题(question)”不成其为问题(problem)，而只是练习题。
认知心理学家认为，所有的问题都会有三个基本成分：（1）给定：一组给定的信息，即关于解决问题的一系列描述；（2）目标：关于构成问题结论的描述，即问题要求的或结尾的状态。解决问题就是要把问题已经给定的状态转换到目标状态；（3）障碍：思维者无法立即找到正确答案，必需通过一定的方式来改变给定状态，逐步达到目标状态，也就是说，问题是给定的信息和目标之间有某些障碍需要加以克服的情境。初始状态、终结状态、解和解题基础共同构成一个数学问题系统的四个基本要素。当其中每一个要素都很明确时，问题就被称为结构明确的问题，否则便称为结构不明确的问题。一个问题是否结构明确，是针对个人而言的。同一个问题对某个人来说是结构明确的，对另一个人来说就可能是不明确的。比如，7+8=？对于很多人是不成其为问题的，但对于从未学过进位加法的儿童便成其为问题。
（二）解决问题的性质
根据问题的定义，教师在教学的时候，课堂里所提出的问题往往对他或她来说是明确的，但对于学生来说是不明确的。这时学生进行的活动就是解决问题。如果教师替学生解决了这些问题，比如，在上例中，教师直接把进位加法的规则告诉给儿童，儿童所要解决的问题就变成了结构明确的问题，这时儿童进行的是练习，而不是解决问题。可见，教师对解决问题的正确认识，对数学教育，尤其对解决问题的教学起着重要的作用。但是，对于在数学教育中有着特殊意义的“解决问题”来说，其真实的涵义在人们，甚至在数学教育工作者的观念里还存在不少模糊的认识。正如郑毓信在其所著的《解决问题与数学教育》一书中曾指出的，对于“解决问题”存在有多种不同的理解：
（1）把“解决问题”看成是一种教学手段。
这一理解是把“解决问题”从属于具体数学知识的教学，即如通过问题来引入有关的教学内容，并通过解决问题来达到复习、巩固及检查的目的；另外，从更广义的角度说，通过“解决问题”还可以调动学生学习数学的积极性，即如体现学习数学的重要性，并使学生通过“解决问题”感受到科学研究的乐趣。
（2）把“解决问题”看成是一种技能。
这一理解是把“解决问题”视为通过“解决问题”而获得的各种具体的解题方法和技巧。在这一范畴里，提倡的是各种各样的“解题术”。
（3）把“解决问题”看成是一种艺术。
这一理解视“解决问题”在本质上是一种创造性的活动。“解决问题”，第一，包括数学应用于现实世界，包括为现时和将来出现的科学理论与实际服务，也包括解决拓广数学科学本身前沿的问题；第二，解决问题从本质上说是一种创造性的活动；第三，解决问题能力的发展，其基础是虚心，是好奇和探索的态度，是进行试验和猜测的意向。
对这些观点的总结表明，不同的教育观点导致不同的对解决问题的理解。我们认为，解决问题是一种综合的能力，其性质具有多重性。首先，从社会文化的角度，数学在现代社会中已不再单纯是一种实用性的技术或辅助性的工具，在各种领域中，它已经成为解决许多重大问题的关键性的思想和方法，并与此同时，极大地改变了我们的生活方式。我们生活的社会是一个处处充满数学的社会，我们的文化已进入“数学化”的时代。因此，做为每一个现代公民，学会用数学去思维，去解决问题便构成他或她生活的重要部分，解决问题的能力对于个人乃至整个民族、整个人类适应与促进未来生活具有重要的意义；其次，从数学及数学教育的角度，50年代以后，数学观的演变出现了由静态向动态的转变，强调应把数学看成是一般的人类知识的一部分，数学是可错的、变化的，并和其他知识一样都是人类创造性的产物??这种动态的数学观所具有的教育涵义是：数学教育的目标应当包括培养学习者创造自己的数学知识的能力。从这样的角度，解决问题便很自然地被看成是数学活动的基本形式和核心所在；第三，从个人发展的角度，正如波利亚曾经指出的，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学知识的（包括数学家在内）约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎得不到任何具体的数学知识。数学知识与数学能力、数学思想方法以及在数学学习中获得的自信、科学的态度、理性的精神等相比，后者显然更为重要。而数学的能力则主要体现为解决问题的才智。通过“解决问题”不仅能让学生学到一些数学知识，更重要的是能够让学生学会借助数学知识在错综复杂的情境中，对实际问题作出有条理的分析和预测，学会创造性的思考。不仅如此，学生们在解决问题过程中所获得的自信心，获得的对客观事实尊重的理性精神，获得的建立在独立思考与交流基础之上的对科学追求的态度等等对他在社会上的发展都将起到重要的作用。这也正是“解决问题”被提为一项数学课程的目标的一个重要原因。最后，从教学法的角度，数学学习并非是一个被动的吸收过程，而是一个以已有知识和经验为基础的主动的建构过程。解决问题是一个发现、探索的过程，在这个过程中应渗透完整的计划、提供能够学到的概念和技能。通过“解决问题”学生可以认识和理解数学，体验到数学在其周围世界中的作用。从这样的角度分析，解决问题不仅是一项数学课程的目标，它同时也是实现数学教育目的的重要手段。
总之，解决问题的过程应该是儿童亲身感受问题，寻找解题策略，实现“再创造”以及体验数学价值的过程。
<b>三、解决问题的一般过程及其影响因素</b>
（一）解决问题的一般过程
关于解决问题研究，几乎都是从解决问题的思维过程入手的。对于解决问题的思维过程，国内外的教育与心理学家提出过许多种版本，不过，这些版本在描述上大同小异，只在措辞上有些不同。在数学解决问题的研究方面，以波利亚的研究影响较大。因此，在这里，我们就引用他对解决问题一般过程的划分。
一般的，解决问题的过程可以区分为四个阶段：一、理解问题，即弄清楚题目要求什么。二、制订计划，即清楚各个项目间是如何关联的、未知与资料是如何关联的，以便获得解决的观念，和做一个计划。三、执行计划。四、回顾已完成的解答，检验和讨论这个解答。理解问题，亦即形成问题的表征。表征问题的形式有两种。一是心理表征（或内在表征），即在头脑中将问题中的文字表述转换成内部的表征以明确问题的已知和未知等信息。二是外部表征，即将问题以图表、模型等具体的东西表示出来。对问题的表征，直接影响到解决问题的难易与快慢。比如，有些问题只在心理表征，解决起来很费事，而借助图形表征，问题的答案就一目了然。有利于解决问题的几种外在表征形式包括：将问题写下来；绘制图表；列出树状图；列出方阵；建立操作模型等等。制订计划，亦即形成解决问题的策略。对问题的表征不同，形成的解决问题的策略也不同。解决问题的策略和方法有很多，包括算法式、启发式、顺向法（也称手段-目的分析法）、逆向法（也称目的-手段分析法）、尝试错误法、类比法、头脑风暴法等等。这一阶段的工作对问题的解决起着至关重要的作用，同时也往往是漫长而艰苦的阶段。一旦制订出计划，接下来就要执行计划。对于数学问题来说，这一阶段的工作可能包括：计算、测量、统计、作图等等。在执行过程中，还有可能会遇到意外的情况。这时需要解决问题者重新寻找新的解题策略，采用更合适的方法来解决问题，甚至重新表征问题。而当解决了一个问题之后，如果能回顾整个解题过程，反思结果是否合理、是否有不同的解决问题的途径，以及与其他知识是否有联系等等，对于巩固知识和发展解题能力是有用的。这一阶段解决问题者的反省认识水平起着很大的作用。事实上，反省认识、动机、期望等始终对整个解决问题过程起着调节与监控的作用。
（二）解决问题的影响因素
解决问题研究的另一个焦点是对解决问题过程中影响因素的研究。在这方面，往往采用专家与新手的对比实验的方法。研究者们试图从专家与新手的差异中找到答案。概括起来，这些差异主要表现在以下几个方面：
在注意和选择性知觉阶段：专家
（1）在选择“从何入手的要点上”果断，反映出较好的注意并理解前进的方向；
（2）集中注意于要解决的问题，较少注意与问题无关的方面；
（3）能清楚地看到先前地知识与当前问题的关联以及是否适用，尽管当前问题在用词或标记上有所改变；
（4）知觉较大意义的模式。
在对问题的表征，对解法的发现和执行过程中，专家
（1）显示出较深刻的问题表征，虽然花费在此方面的时间也较长；
（2）显示出主动有力的探索过程，较少被动、肤浅和单凭印象、机械照搬；
（3）仔细、有条理的探索过程，而不是无计划或猜测；
（4）有较强的长时记忆和较快的技能执行的速度。
在对解法的监控和评价方面，专家
（1）坚持沿着一条推理思路达到逻辑的结论，较少分心或烦乱；
（2）有较好的自我监控的能力，随时注意评价当前状态与目标的关系；
另外，在归因性信念、动机等方面，专家
（1）对推理的价值抱积极态度，很少听天由命；
（2）对自己的解题能力有较强的自信心，很少因问题复杂而泄气；
（3）解法客观，较少受个人情感因素和主观因素的影响。
虽然这些基于专家-新手的对比研究是比较全面和具体的，然而，它们几乎都是从结果的角度加以描述——即指出当解决问题的能力形成以后个体应该和能够达到的目标，并没有指出我们怎样才能让学生达到这些目标。显然我们需要从内部去探究解决问题过程中作为学习者，而非专家的学习与思维的特点。
<b>四、解决问题过程中学习者的特点</b>
从上述关于解决问题的一般过程和影响因素的论述中，我们可以看到，当我们遇到方法不是现成的或不知选用何种方法的时候，我们不仅需要数学及相关的知识背景，还需要一些解题的策略、情感因素的支持等等。教育和心理学的研究表明，我们不仅要关心儿童知道些什么，更要关心儿童是怎样知道的。既然如此，在提出解决问题的策略之前，我们必须先了解解决问题过程中学习者是怎样思维、怎样学习的，也就是学习者的特点是什么。从这个意义上说，我们的探讨与其说是针对解决问题的，倒不如说是针对数学及整个教育内部的。
目前我们对于学习者内部的心理特点的理解还相对粗浅，这些理解主要体现在以下几个方面：
（一）知识建构与发展
关于智力是如何发展的理论中，最具影响的理论之一是由世界上公认的最杰出的儿童心理学家皮亚杰提出的。皮亚杰认为，儿童智力的发展是知识重建的过程。知识不是被动的从环境中吸收的，不是预先在儿童头脑中形成，并随着儿童的成熟随时出现的，而是由儿童通过他的心理结构与他的环境之间的相互作用构建的，也即把新的知识纳入到已有的认知结构之中（皮亚杰称之为“同化”过程），或是发展已有的认知结构以容纳新的知识（皮亚杰称之为“顺应”过程）。不同于其他的心理学家把知识看成是信息和观念的贮存，皮亚杰提出知识是一个过程，是个人操作活动的所有组成部分。皮亚杰观察到，儿童有自己解决问题的方法、组织观念或回忆视觉表象。皮亚杰把儿童受环境的影响分成两类：一类是直接的未经指导过的经验，第二类是由教育或教学指导下传授的知识，并且主张第一类必须先于第二类。在皮亚杰看来，儿童获得知识，不是从客体本身，而是通过摆弄它们和在内心组织自己的动作。真正的理解意味着儿童通过自己的活动发现或能动地建立关系。用皮亚杰的话说，“我们常常自以为了解儿童，但实际上我们所做的是让儿童按照我们成人的方式去思维。我们应该认识到，教育不是为了改变儿童，而是要努力使我们的教育适应于儿童天生自然的学习方式”。儿童是他自身发展的主要动力。
尽管皮亚杰提出的儿童认知发展阶段论（即对儿童认识发展的阶段作了严格的、逻辑的划分，从“感知-运动阶段”到“前运算阶段”、“具体运算阶段”最后到“形式运算阶段”）由于过于强调阶段的不可超越性，夸大了不依赖于具体学科、具体知识的平衡过程的作用，从而或多或少带有形式训练的味道，但其揭示出的儿童思维发展的一般规律，即儿童的认识是从具体操作物开始，在此基础上逐渐形成抽象思维的特点，对教育实践中充分考虑儿童心理发展的水平具有重要的理论指导意义。与此同时，对皮亚杰理论的深入研究又进一步发展了人们对形象和抽象的认识，揭示出形象抽象不是替代式的，而是并行的，都有一个从低到高的发展过程。抽象和形象是相对的，而不是绝对的，抽象有低级的抽象，比如，儿童将各种各样的狗抽象为狗的原型，形成“狗”的概念，形象思维也有高级的层次，比如，艺术家的艺术创造就需要高级的形象思维。形象和抽象的水平与儿童思维发展的水平一样，是与具体的知识相联系的，不能离开具体的知识，将儿童发展的规律形式化。
由于皮亚杰在阶段发展论上的影响之大，往往使人们忽略了其关于儿童发展研究的另一个贡献，即皮亚杰对于儿童智力发展过程中情感和社会的影响作用的论述。皮亚杰明确的指出，个性在主要属于智力方面的充分发展，不能脱离构成学校生活的情绪的、道德的或社会的关系这个整体。他相信，没有自由表达和智力交流，人的价值的任何发展都是不可能的，学生只有在相互尊重的基础上做自己的主人，才能导致个性的全面发展。
（二）认知方式与学习
认知方式是指学习者在研究、解决其学习任务时所表现出来的具有个人特色的方式。由于学习者是知识的主动建构者，所以学习者千差万别的认知方式必然影响他的学习的过程。与学习关系密切的认知方式包括：
1、知觉方式
所有认知方式中最著名的当属按场依存和场独立的维度划分的认知方式。研究表明，有些人在知觉时较多地受他所看到的环境信息的影响；有些人则较多地受来自身体内部的线索的影响。场依存和场独立这两种认知方式不仅存在于知觉领域，而且存在于记忆、思维、解决问题以及人格领域，与学习有密切的关系。一般说来，场依存者对人文学科和社会学科更感兴趣，喜欢集体学习，适合于结构严密、有教师明确指导和讲授的教学，而场独立者在数学与自然科学方面更擅长，喜欢独自专研，对那些需要找出问题的关键成分并重新组织材料的任务，容易完成，适合于结构不严密的教学。
利用知觉测验鉴别出的另一种认知方式的划分是冲动型和沉思型。这是指学习者面对两种和两种以上的选择时，作出反应的速度。研究表明，认知冲动的学生反应快，但容易出错，而沉思型的学生一般是花大量时间考虑后才作出反应，所以出错少。但也有的学生反应既快又准确，而有的学生反应既慢又不准确。所以将这一维度的划分解释为一种认知方式的划分多少有些牵强。不过，有的心理学家认为，冲动和沉思的区别，表明了学生信息加工策略上的重要差异。比如，沉思型的儿童表现出更成熟的解决问题的策略，更多可能去考虑不同的假设，但冲动型的儿童在解决具有许多维度的任务时比起沉思型的儿童要快得多。
2、思维方式
沃勒克与科根对儿童智力（通过对需要分析能力的常规推理题测验得到的能力分数）和创造力（通过对需要想象和流体智力的开放性问题的反应测的能力分数）的研究以及类似的赫德森关于学科领域和人格特征倾向性的研究表明，儿童在解决问题时存在两种不同的思维方式，称之为聚合式思维和发散式思维。聚合式思维趋向于只注意某些方面，并很快地就局限在某一特定领域之间。发散式思维是一种搜索策略，这种策略的注意面较广，搜寻的内容既包括语义方面的，又包括情节方面的，而且搜寻也很可能是松散的、缓慢的、广泛的，不只局限语信息贮存的某一方面。显然，开放的、创造性的问题更需要儿童的发散性思维。
3、学习方式
英国心理学家帕斯克对学生怎样学习作了大量的调查研究，他试图使用解决问题的任务（对想象出来的火星上的动物图片分类，并形成自己的分类原则）发现学生在学习策略方面的重要差异。研究表明，学生在使用的假设的类型以及建立分类系统的方式上，表现出两种有差异的策略：整体性策略和系列性策略。采用整体性策略的学生从全盘上考虑如何解决问题，往往倾向于对整个问题将涉及到的各个子问题的层次结构，以及自己将采取的方式进行预测。采用系列性策略的学生，一般把重点放在解决一系列子问题上，十分注重各个子问题之间的逻辑顺序。由于他们通常把精力集中在一步一步的策略上，所以只有在解决问题以后，才对所学的内容形成一种比较完整的看法。帕斯克发现，这两种策略倾向的学生在学习任务结束时，都能达到同样的理解水平，尽管他们达到这种理解水平时所采取的方式是完全不同的。他把这种采取某种特定策略的“一般倾向”称之为“学习方式”。
由于对每一种认知方式，在每一端都能发现适应特殊环境的特征，所以不能说位于一端或另一端就天生较好或较坏。我们的目的是要通过对这些特征的了解，以更好地适应学生天生自然的学习方式。而从另一个角度说，如果我们有可能帮助学生鉴别出他们的认知方式，就可以在解决问题的过程中，训练他们利用其长处，同时发展他们学习策略中薄弱的部分。
（三）情感与课堂行为
如同眼睛是心灵的窗户，一个人的情感对学习和教学活动具有重要影响，可以用来解释学习者的学习行为和原因。在教育情境中关于情感的理论与研究主要集中在以下几种与课堂学习和行为有关的动机类型：外部动机、内部动机、成就动机和社会动机。在这里我们主要针对学习者的特点，谈谈后三种动机。
1、内部动机
儿童有一种与生俱来的好奇心和探索的欲望。当学习者在经历到新颖、不一致、令人惊奇、变化的学习情境时，便会引发出观念上的不确定性，导致中枢神经系统的唤醒水平提高。好奇则是处于中等程度的唤醒状态，继而可以导致旨在减少不确定性的探索性行为。由于好奇心和探索欲，是通过使个体从行为本身获得愉悦，从而唤起学习动机，因而对学习来说是内部动机。好奇分两种：知觉性好奇和认识性好奇。知觉性好奇是新奇、不一致、复杂的感官刺激引起的。认识性好奇是由不一致的观念、信仰或态度，即内部刺激引起的。这两种好奇都对学习有重要影响，后者与课堂学习中的认知活动联系更为密切。需要注意的是，虽然人都有好奇心和探索欲，但不一定都具有同样的强度，或都表现为同一个方面。因此问题的难度和题材的多样化是适应学习者特点必须考虑的因素。
2、成就动机
课堂中的需要学生解决的问题给学生提供了成功的可能性，也提供了失败的可能性。对失败的恐惧导致焦虑，而对成功的希望与成就需要相联系。焦虑和成就动机如同一对孪生的兄弟，使得成就动机中存在两种不同的倾向：力求成功的需要和力求避免失败的需要。心理学的研究表明，对成功和失败的归因方式与成功动机的保持和增强有关。在归因的四个主要因素（能力、努力、任务难度和运气）中，努力因素被认为最能够引导积极的归因。研究表明，激发学生的成就动机，一方面要使学生感到自己的努力不够，要不断加强；另一方面，还要使学生不但感到自己的努力是有效的，这样，才能使他们的努力行为能够坚持下去，直到取得成功。
3、社会动机
按照马斯洛的观点，人的需要由低级到高级可以分为五个层次：生理的需要、安全的需要、交往和爱的需要、受人尊重的需要和自我实现的需要。其中交往和爱的需要、受人尊重的需要以及自我实现的需要是与社会、他人的关系相联系的。这些需要都可以转化为社会动机。
在学校，学生都期望得到教师和同学的喜爱、关注、赞扬和尊重。如果教师与学生、学生与学生能够建立一种友好合作的关系，而且共同承担责任和解决问题，那么学生的行为就倾向于维护这种良好的合作关系，这样，相互间的交往与尊重就会促进学习和解决问题。
五、解决问题的教学策略
根据学习者的特点，下面我们从四个方面总结出以学习者为中心的心理学原则，并阐述它们各自对于解决问题教学策略的含义。
（一）认知和元认知因素
当学习是从知识和经验中有目的的意义建构过程时，学习是非常有效的。
学生的学习不是一个被动的吸收知识、记忆、反复练习、强化储存的过程。一个有意义的学习过程是学生以一种积极的心态，调动原有知识是和经验尝试解决新问题，同化新知识，并构建他们自己的意义。基于这一原则，解决问题的教学应采取以下策略：
1、从学生自身的生活背景出发，为学生提供对其具有现实意义和趣味的材料。
如果想提出对儿童来说有意义的问题，作业的要求必须与儿童的体系相一致，与儿童的生活经验相联系。现实生活中有许多有趣的事包含着数学概念、数学思想和方法。我们的教学应该挖掘这些素材。当数学和儿童的现实生活密切结合时，数学才是活的，富有生命力的，才能激发儿童学习和解决数学问题的兴趣，激发儿童思考与创造的源泉。同时，在生活问题的解决中发现的数学概念、形成的数学思想和方法，更能促进学生在以后遇到相关问题时自觉地运用有关的数学经验去思考、解决问题。数学教育的目标之一就是要通过解决问题使学生获得适应社会生活所必需的数学基础知识和基本技能，获得运用数学方法解决问题的习惯和能力，要实现这些目标必须有赖于数学问题与生活情境的结合。
2、让学生在在尝试、探索的活动中进行解决问题
研究表明，当对具体物体进行操作而内容又是已经熟悉时，儿童有惊人的能力解决用语言提出的问题。重视儿童的思维，重视儿童解决问题中的创造性，就意味着要给他们机会和时间充分尝试、探索这些新的可能性，而不是只用表面上水平很高的空洞符号进行诱导。传统的教学常常要求学生从外部接受一个已经完全组织好的对他来说也许并不理解的题型训练，我们应该提倡学生在自主活动的领域，自己发现解决问题的策略，并加以再创造，直到他乐于接受他人指导和教授为止。在学生尝试、探索的过程中要他犯错误。皮亚杰指出，儿童的错误实际是通向理解的自然阶梯。教师通常认为在需要克服困难的地方是学生容易犯错误的地方，因此，常常在学生犯错误之前就提醒学生加以注意，甚至直接给学生正确的示范。实际上，儿童的错误是必然的，它是儿童通向更高理解水平所必需的中间阶梯。教师应该认识到，如果教师愿意多损失一点他讲授的时间，让儿童在活动中对不同的事物进行探索和尝试，儿童可能会获得更深的理解和更多的知识。
（二）动机和情感因素
学什么和学多少是受学习者的动机影响的，而学习动机是受个人情感影响的。获得复杂的知识和技能需要学习者付出更多的努力，没有学习者的学习动机，就不存在这种努力。学习者的动机分为内部动机和外部动机。内部动机是由具有适当新颖性和难度、与学习者兴趣相关，并能为学习者提供选择和控制的任务。为此，我们建议在解决问题的教学中：
3、为学生创设富有挑战性的、开放的问题情境
学习是从认识到有问题开始的。在遇到问题时，儿童总爱把自己当成探索者、研究者，发现者，而富有挑战性的、开放的问题情境能使他们的这些角色得到充分的发挥，促进学生创造性的解决问题。一般的，存在着三种问题情境的类型：已经明确的问题情境、需要发现的问题情境和需要创造的问题情境。在第一种问题情境中，问题是给定的，解决方法是已知的，答案是确定的。在第二种问题情境中，问题也存在，但必须由解决问题者自己设想出来，解决问题的方法、答案也都必须由解决问题者自己去发现，“再创造”。最后一种问题情境，问题是不存在的，除非有人去发明或创造它。从它出发，能刺激、产生出更多的知识，更重要的是创造性的问题本身就是知识。它往往是科学家和艺术家创造工作的基础。显然，后两种问题情境更有利于促进学生创造性的解决问题。遗憾的是第一种问题情境往往是学校提供的典型问题情境，而最后那种问题情境在我们的学校里几乎很少能遇到。
4、使学生在解决问题中获得成功的体验
为了促进学生的解决问题，我们常常将学生放入一个新旧知识具有冲突的问题情境中。如果问题十分简单显然对学生不具有什么挑战，解决起来就会索然无味。但如果问题太难，学生完全置身于一个新环境，已有的知识经验一点都用不上，那么，这种问题的挑战性又太高。因此，新旧知识之间的差距必须掌握一个合适的尺度，使得学生能够通过努力消除这种差距，在解决问题中获得成功的愉悦情绪体验。心理学的研究发现，成功的解决问题者和失败者相比，在态度方面表现出更充足的自信心，更重视认真思考和推理，精力更集中，更有耐心和毅力，随时愿意抛弃已有的思路和答案，积极寻找更佳的思路和答案。可见，要培养学习数学的兴趣、自信心，培养学生科学的态度、对客观事实尊重、敢于批评的理性精神和创新的意识的一个重要手段就是帮助学生靠自己以及小组的合作发现解决问题的策略和方法，获得成功的体验。
（三）发展和社会因素
当身体、智力、情感和社会领域内的不同发展被考虑到时，学习是最有效的。在个体的发展过程中，存在着不同的学习机会和约束。学生在与社会，尤其在他所处的班级这个小社会中，他与他人的合作与交流对其学习与思维有着很大的影响。因此，我们认为在解决问题的教学中：
5、应鼓励师生之间、生生之间的合作与交流。
合作与交流对数学学习乃至对以后适应社会都是非常重要的。这种合作与交流一方面体现在师生之间的交流，另一方面体现在生生之间的交流。首先，教师与学生的交流应体现在学生取得成功时教师充分的肯定与表扬，并且这种表扬应该是针对作业，而不是儿童，以引导学生正确的归因。不仅如此，教师与学生的交流还应体现在学生出现错误的时候仔细地倾听学生的想法，看到其中合理的成分，并给予他们耐心的启发。教师的忽略或简单地通过“示范”予以纠正，都将会造成学生失去主动建构知识的机会。而学生在失败以后又取得的成功，可能更能使他获得一种信心。
教师的另一个作用是在适当的时候，安排学生与学生之间的合作与讨论，以促进各种观点的交流。应该让学生发挥其“学习共同体”的作用。在一个“学习共同体”中每一个（包括所谓的差生）都应得到应有的尊重和理解，真理的标准是理性而不是教师，也不是任何的“权威”，比如标准答案，在热烈的讨论中，学生听取彼此的意见，对于任何矛盾，都可以采取进一步的实验加以探讨，取得一致的认识等等。美国数学教育家舍费尔德还建议教学应主要由“全班性的讨论”和“分组讨论”这样两个环节组成。显然，只有在这样的教学环境中，每个学生解决问题的积极性和创作力才能得到最充分的发挥。
（四）个性差异
当学习者的语言、文化和社会背景的差异被考虑到时，学习是非常有效的。每个学生都有自己的生活背景、家庭环境，这种特定的生物的和社会文化氛围，导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。为此，在解决问题的教学中：
6、提倡解法多样化，并允许存在不唯一的答案
传统的教学习惯于把成人的思维模式和方法强加给学生，因而用一种解法是既省力有“见效”的方法。而如果我们让学生在自主探索的活动中去学会解决问题，提倡解法多样化就是一件非常自然的事情。因为首先，相同的新问题，对不同的人来说，与他旧的知识经验的差距是不等的；其次，不同的学生，认知方式不同，一个思维灵活的学生，能够处理新旧知识间很大的差距，而思维僵化的学生可能会感到束手无策。再有，从情感的角度来看，成就动机、好奇心、探索欲高的学生视这种问题为挑战和锻炼的机会，而对成就动机等低的学生则会造成焦虑，而力求回避。因此，在解决问题的教学中，教师应提倡解法的多样化，调动每个学生的积极性，不要试图追求同样的思维层次、习惯和模式，鼓励学生大胆的尝试、猜测，甚至“自圆其说”（当然不能是狡辩）。同样，如果我们提倡解法多样化，我们就应该允许学生给出的答案多样化。事实上现实生活中的许多问题其解决的方法就是不唯一的，也没有更好或更差之分，只要是合理的，就应该允许它存在。现实生活是这样，源于生活的数学也是这样，解决问题的教学更应是这样。
最后，应该清楚的是，所有的这些策略都基于这样一个总的指导思想，那就是，把解决问题的主动权交给学生，提供学生更多的展示属于他们自己的思维方式和解题策略的机会，提供学生更多的解释和评价他们自己的思维结果的权利。所有这一切都旨在促进学生形成探索性的学习方式，发展创新意识和创新能力。解决问题是带动整个数学教育改革的一个突破口，我们的未来任重而道远，我们的研究还将继续，解决问题将是数学教育中一个永恒的主题。
<b>参考文献</b>
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