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| 作者：北京师范… 文章来源： 点击数： 更新时间：2002-4-16 |
研制新的数学课程标准的一个基本理念是：面向新世纪的中小学数学课程应为学生的终身发展奠定良好的基础，使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心；学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神；获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。
在这一理念下,公民的数学修养,最为重要的标志是看他如何理解数学的价值，以及能否能够运用数学的思维方式去观察、分析日常生活现象，解决所遇到的现实问题。因此，中小学数学课程的目标体系应该分为发展性领域和数学知识领域两个方面。从发展性领域来看，数学课程应重视学生在情感、认识、推理和解决问题等诸方面的发展；从数学知识领域来看，数学课程应教会学生以下内容：数与式、测量、空间与图形、数据处理等。
根据这一目标体系，在对学生的数学学习进行评价时，既要评价学生数学学习的结果，也要评价学生在数学学习过程中的变化和发展；既要评价学生数学学习的水平，也要评价学生在数学实践活动中所表现出的情感和态度。这一评价模式在评价内容、评价方法和评价结果的表示等方面，与目前的那种只重数学学习结果、只看考试分数的评价模式有着本质的区别。我们可以将这种评价模式称为“数学学习的发展性评价”。
心理学研究表明，学生的心理发展不仅包括知识、推理、解决问题等认知因素的发展，而且还包括兴趣、态度、价值观等情感因素的发展。作为基础教育的一个重要组成部分，数学教育对学生这两个方面因素的发展都具有重要的价值。
从数学学习中认知因素的发展来看，有关研究主要涉及数学知识的特点、数学推理能力的发展水平、数学知识的掌握水平等。从数学学习中情感因素的发展来看，有关研究主要涉及学生对数学学习的动机、兴趣和态度等方面。下面，分别对这些研究的主要成果简要地介绍如下。
（一）数学知识的特点
从教育的角度来看，数学对于发展人的理性思维和解决问题的能力具有显著的价值。然而，对于每一个人类个体来说，这些价值不是通过积累数学事实（概念、定理、法则、公式等）实现的，而是更多地通过对数学活动经验的条理化、对数学观念的自我组织、对重要的数学思想的领悟等实现的。因此，数学学习的主题应该是数学活动、数学观念、数学思想方法等，而不是单纯的数学事实。
80年代以来，认知心理学家们将人的知识区分为“陈述性知识”和“程序性知识”两类。陈述性知识是关于“是什么?”的知识，包括概念、定理、法则等；而过程性知识是关于“如何做?”的知识，如操作的步骤、解决问题的方法等。与传统意义上将知识理解为“陈述性的、系统化的概念和规则体系”相比，这是一种广义的知识观。从这一角度来看，数学知识不仅包括确定的数学事实，而且包括完成数学活动的程序（解题方法）、数学观念、数学思想等。其中，概念、定理、法则等数学事实可以看成是陈述性知识，解题方法、数学观念、数学思想方法等可以看成是过程性知识。
值得十分注意的是，陈述性知识和过程性知识的区分并不是绝对的。任何具体的知识，不管它是陈述性知识，还是过程性知识，都既有过程性的特点，又有陈述性的特点。例如，关于数学概念的二重性的特点，在80年代初就有讨论。90年代，以色列的Stard等对此进行了全面的分析和总结，成为数学教育心理学的前沿观点之一。根据Stard等的观点，数学概念，特别是代数概念，通常具有两个侧面，即过程侧面和对象侧面。也就是说，根据实际情况的不同，一个概念有时可以看成是一种算法、过程或操作，有时又可以看成是被另一个概念操作的对象。例如，三角函数cosβ，既可以看成是x与r之比的运算（过程），又可以看成是一个比值（对象）。又如，表达式（x+a）2－8，既可以看成是一个运算操作（过程），又可以看成是由一组运算关系组成的结构或运算结果（对象）。
过程和对象虽有差别，但二者存在着密切的联系。根据对人类历史上数学概念发展事例的分析，以及个体数学概念形成过程的剖析，对数学概念的掌握通常需要从过程入手，然后再转变为对象；最终，这两个方面构成一个整体，并与其它的概念一起，形成相互关联的知识结构。以乘法的学习为例，首先要学会算法，如对位、进位等操作步骤；在此基础上，将乘法转化为一个整体的概念，与加法、除法等概念一起，形成一个完整的知识结构。在过程状态下，数学知识表现为一系列的步骤，具有可操作性、容易仿效。但由于步骤的前后顺序，以及每一步中包含的大量细节，概念的本质特征被隐含起来，难以准确地把握。进入到对象状态以后，概念的本质特征被提炼出来，并能用语言、符号清楚地加以陈述，从而转变成可以被其他过程进行操作的对象，只有在此时，对一个概念的完整理解才算形成。
从完整的知识结构来看，一个概念实际上是层次性系统中的一个节点。对于某个概念来说，一方面，它可以作为对象被更高层次概念的运算所操作；另一方面，它也可以作为过程，操作已经成为对象的、较低层次的概念。在这一概念系统中，必然存在有两类特殊的概念：第一类是位于概念系统中最底层的概念，它们只以对象的形态存在，本身没有过程特征，它们是所有其它概念操作的基点，如几何中的“点”；第二类是位于概念系统中最高层的概念，人们还没有把握这些概念的本质特征（或专家们的意见不一致），它们只以过程的形态存在，没有进入到对象状态。我们可以将第一类概念称为“基点概念”，将第二类概念称为“顶层概念”，而其他的概念则可以称为“中间概念”。
我们认为，以上对数学概念的描述也适用于其他的数学知识。也就是说，定理、法则、解题方法等不同类型的知识，也都具有二重性，并在这一基础上形成层次性的知识系统。例如，对于定理或法则来说，它本身是描述对象特征的陈述性知识，可以看成是具有陈述性特征的对象；但它又在解决问题的过程中表现为具体的操作，表现为过程性特征。对于解题方法、数学观念、数学思想等，它们本身是表示操作步骤或特性的过程性知识，具有过程性特征；但它们又可以被理解为数学的基本学科特征，并看成是具有陈述性特征的对象，这些对象可以被其他相关学科（如物理、化学、哲学等）知识的过程所操作。
综上所述，数学知识具有以下几个特点：
1、数学知识可以分为陈述性知识和过程性知识两种类型，前者包括概念、定理、法则等内容，后者包括解题方法、数学观念、数学思想等内容。
2、每种类型的知识都既可以表现为过程的形态（具有过程性特征），又可以表现为对象的形态（具有陈述性特征）。从这一意义上看，两种知识类型的区分不是绝对的。
3、数学知识形成一个层次性的知识系统。根据在这一系统中所处的位置不同，可以区分出三种类型的知识，即：基点知识、中间知识和顶层知识。其中，基点知识只以对象的形态存在，没有过程特征；顶层知识只以过程的形态存在，没有进入到对象状态；中间知识则既具有过程性特征，由具有陈述性特征。对于任何中间知识，它既可以作为对象被更高层次概念的运算所操作，又可以作为过程，操作已经成为对象的、较低层次的概念。
（二）数学推理能力的发展水平
1、皮亚杰的发生认识论
皮亚杰(JeanPiaget,1896～1980)是发展心理学中最有影响力的一位理论家。他运用生物学、哲学、逻辑学和数学的知识，对儿童的心理发展进行了大量的临床研究，创立了关于儿童认知发展的发生认识论。他的这一理论受到世界各国学术界的广泛重视,被人们称为日内瓦学派或认知学派，对现代发展心理学的各个方面，对西方幼儿与中小学教育的改革产生了巨大的影响。
皮亚杰认为，儿童在与外部环境相互作用时所表现出来的思维模式反映了不同的认知发展水平。根据大量的第一手实验材料，皮亚杰指出：儿童的智力发展不是一个简单的数量增加的过程，而是经历了一些共同的、按不变顺序相继出现的、有着质的差异的几个时期，每个发展时期都有独特的思维模式。根据思维模式的不同形式，皮亚杰将儿童的认知发展分为以下四个阶段：
感知-运动阶段(0～2岁)从简单的反射活动逐步过度到依赖于感知和运动的运算。
前运算阶段(2～7岁)能够利用表象图式进行推理运算，语言的发展使得儿童能够运用大量表象符号进行思维活动。
具体运算阶段(7～11,12岁)形成了守衡性和可逆性，能够从概念的各种具体变化中抓住本质的东西，掌握变化的规律，进行合乎逻辑的推理运算。不过，这一阶段的儿童一般需要依赖具体事物的支持才能进行运算。
形式运算阶段(11,12岁以后)能够在更大凡为内进行逻辑运算，能处理复杂的言语问题、假设问题或涉及未来的问题；能够理解因果关系，并根据辩证逻辑的规则，进行不依赖于内容的纯逻辑形式的运算。
2、几何思维的发展水平
几何思维发展水平的模式，是荷兰的VanHiele夫妇在50年代末提出的理论。这一理论早就受到前苏联和美国学者的重视，并得到深入的探索、验证和应用。根据这一理论，学生的几何思维可以分为以下五个发展水平：
水平0直观认识能从整体外观认识几何图形，但不了解其性质；
水平1描述和分析能对单个图形的性质作分析并确定特征，但还不能认清图形件的关系和性质；
水平2关联和抽象能把握图形间的关系、性质和分类，但不能做命题推理；
水平3形式推理能组织命题序列，进行推理，但对严格化的必要性没有认识；
水平4严格化能在形式体系中进行严格推导，甚至可以理解演绎系统的相容性、独立性和完备性。
从这一发展模式可以看出，学生的几何思维首先应是整体的、定性的。例如，在水平0和水平1上，学生可以理解几何对象的形状、元素的位置、关系等；在此基础上，发展到水平2和水平3，才有可能进行定量的几何计算。
在这一理论的指导下，前苏联于1968年制定了从小学开始、连续8年的几何教学课程，取得了很好的效果。在这一课程中，小学2年级的立体几何内容可以达到水平1；到3年级末，所有学生的几何能力都可以达到水平2以上。
（三）数学知识的掌握水平
在认知心理学中，将主要依赖于知识（而不是体力）解决问题的能力称为认知技能(Valehen,1996)。研究者们一般认为，Fitts和Posner（1967)提出的感知-运动技能获得的三阶段模型同样适合于认知技能。根据这一框架，认知技能获得的过程可以分为三个阶段，即：早期阶段、中间阶段和最后阶段。在早期阶段，学习者通过阅读（或聆听）一些说明性的教学材料，获得有关的陈述性知识；在中间阶段，学习者根据所学的陈述性知识解决问题，一方面纠正错误的知识和弥补缺失的知识，另一方面也获得一些经验性的知识，即所谓的过程性知识（有时也称为“启发式规则”）；在最后阶段，随着解决问题的数量越来越多，学习者逐渐提高解题的速度和正确率，直至达到熟练的水平。这种“三阶段模型”的典型代表是美国著名认知心理学家J.R.Anderson于1983年提出的自适应控制理论(简称为ACT理论)。
从实践上看，这种“三阶段模型”是与传统的接受学习模式相对应的，即首先通过阅读或听讲获得陈述性知识（早期阶段），然后在解决具体问题的过程中将陈述性知识转化为过程性知识（中间阶段），最后在不断增加的解题经验中提高解决问题的熟练程度，直至达到熟练的水平（最后阶段）。
从理论上看，这种“三阶段模型”是建立在以下两个基本假设的基础之上的：第一，陈述性知识和过程性知识是两种截然不同的知识；第二，必须首先获取陈述性知识，然后才能在此基础上获取过程性知识。然而，一些研究结果表明，这两个假设并不成立。首先，前面已经介绍，大多数数学知识具有“过程性”和“陈述性”的双重特性，陈述性知识和过程性知识之间的区分并不是绝对的。其次，过程性知识的获取并不依赖于陈述性知识。一方面，人类学提供的实验证据表明，过程性知识的出现先于陈述性知识；另一方面，大量认知心理学的研究结果表明，过程性知识可以通过“例中学”或“做中学”直接获取，不需要经过陈述性知识的阶段。
根据20世纪90年代初形成的建构主义的观点，学生的数学学习过程是一个自主、主动地建构自己对数学知识的理解的过程。基于这一理解，建构主义主张在让学生在具体的问题情境中、通过积极的思考和与环境的交互作用，主动地建构数学知识的意义，发展利用数学知识解决问题的能力。在建构主义理论的倡导下，例中学、做中学、情境化的学习、抛锚式学习等学习方法得到广泛的重视。这些学习方法有一个共同的特点，即强调不应该将知识以语言符号的形式直接“告诉”学生，而应该将知识蕴含在具体的实例或问题情境中，使学生通过探索，主动地发现知识。这样，认知技能获取的三阶段模型就不适用了，必须提出新的理论来描述认知技能获取的过程。
近年来，我国心理学家在示例学习研究的基础上提出了认知技能获取的“条件建构-优化理论”（朱新明、李亦菲，1998），阐明了人通过考察实例和解决问题直接获取陈述性知识和过程性知识的信息加工过程。这一理论强调对知识的“工具性理解”（把握知识的过程性特征）先于“观念性理解”（把握知识的陈述性特征），并提出通过加强对知识应用条件的学习来促进认知技能的获取。根据这一理论，可以将学生对数学知识的掌握程度分为以下三个水平：
水平1工具性理解了解知识的过程性特征，能够从算法和操作的角度运用知识，但不能理解知识之间的逻辑关系。一方面，这种运用可以是一种指代性的，即用某个符号指代一个体的事物或事物的特征和功能，如用“+”号表示对它前后的两个数字求和，或者表示一个数是正数；另一方面，这种运用也可以是一种程序性的，即一个规则所规定的操作方法或步骤是什么，如“勾股定理”规定了在直角三角形中已知两条边的长度，求第三条边的长度的方法。
水平2观念性理解了解知识的陈述性特征，能够将知识作为对象来使用。这种理解是建立在对符号意义和事物本身的认识的基础之上的，特征是对知识之间的关系形成了正确的认识。
水平3解决问题在了解知识的过程性特征和陈述性特征的基础上，能够利用知识解决具体问题，并在解决具体问题的过程中形成大量经验性知识。这些知识是典型的过程性知识，可以表示为“如果…，那么…”形式的产生式规则。其中，“如果…”被成为条件部分，“那么…”被成为动作部分。大量研究结果表明，在一个特定的领域中，个体解决问题的数量越多，他获得的经验性知识也就越多，解决问题的水平也就越高。
根据大量专家和新手解决问题差异的研究结果，可以将解决问题的能力分为五个等级，即：手段-目的分析水平、条件再认水平、顺向推理水平、直觉水平、建构水平。下面分别介绍人在不同等级的水平上，所表现出的解决问题行为的特征。
等级1：手段-目的分析水平
认知心理学研究发现，人在获取陈述性知识后第一次面临具体问题时，通常采用“手段-目的分析法”解决问题。基本过程如下：首先，比较目标状态与当前状态，发现差异；然后，设法找到某种操作来减少这种差异；但是，要完成这个操作又必须首先满足一定的条件，因此，就得先减少当前问题状态与这个条件的差异；于是，又得寻找另外一个操作来减少这种差异；这样下去，直到当前的状态满足执行操作的条件。在这一过程中，消除当前状态与操作所需条件之间的差异就是“目的”，执行的操作就是“手段”。
个体利用“手段-目的分析法”解决问题的过程，也是获取过程性知识的过程。在这一过程中，个体要准确地选定问题情景中的有关线索，将它作为条件部分，与相应的结论或操作（动作部分）联结起来。产生式的建立是需要花费时间的，并且往往不是在一次尝试中就能够正确的建立起来的。由于解决一类解决问题的技能通常包括不止一条产生式（一般是10条以上），因此，在技能的开始阶段，采用“手段-目的分析法”解决问题将延续一段时间，并成为解决问题能力的一个初始水平。在这一水平上，个体的解决问题行为主要有以下特征：
(1)通常从问题的目标状态出发，进行逆向推理；
(2)解题过程花费的时间较长；
(3)陷入困镜时，不能通过采用适当的策略摆脱困境；
(4)在解题结束后，通过自我解释建立新的产生式规则。
等级2：条件再认水平
在这一水平上，个体已经接触了各种类型的问题，并获得了解决这些问题的过程性知识（产生式规则）。因此，当他遇到一个具体问题时，就不再需要费劲地进行“手段-目的分析”，而是从问题情景中再认熟悉的线索，激活有关的产生式，提取相应的操作解决问题。在心理学研究中，这种从问题亲情景中再认熟悉线索的加工被称为“线索再认”（cue recognition）。
从解决问题技能的角度来看，线索再认反映了被试逐步熟悉过程性知识的过程。在这一过程中，被试尽量避免使用“手段-目的分析法”，而是从问题情景中搜索有关的线索，通过激活相应的产生式规则来解决问题。在这一水平上，个体的解决问题行为主要有以下特征：
(1)能够从问题情景中再认熟悉的线索，并由此出发，进行逆向推理；
(2)由于不需要从问题的目标状态出发进行逆向推理，提高了解题效率；
(3)陷入困镜时，能够通过注意有关的线索，找到正确的解题思路；
(4)在解题过程中，经常从一个线索出发，罗列多个可能的结果。
(1)对问题情景中与产生式条件有关的线索越来越敏感，动作的执行也越来越熟练；(2)在依靠某些图形信息进行解题时，对图形中体现条件模式的关键线索具有明确的指向性，并能注意到图形中所展现的隐含信息；(3)通过整合与细分，逐步将产生式的条件概括在适当的水平上，形成面向特定问题的复杂条件模式。
在此基础上，个体逐步摆脱逆向推理的方式，发展起一种通过再认熟悉的条件模式、以强方法进行顺向搜索的解决问题技能。应该说明的是，虽然顺向推理水平和条件再认水平都以线索再认为基础，但它们所依赖的产生式规则是不同的。在条件再认水平下，个体掌握的产生式规则是直接从陈述性知识转化而来的，条件中的线索比较单一，并且包含一些无关因素。而在顺向推理水平下，个体掌握掌握的产生式规则是对原有产生式规则进行精细加工的结果：一方面，进一步强化了条件与动作之间的联系；另一方面，产生式的条件也更加符合实际问题情景中的线索组块。在这种过程性知识的背景之下，个体的解决问题行为表现出以下特征：
(1)直接从问题的初试状态出发，进行顺向推理；
(2)忽略无关的线索，进行高效率的解决问题；
(3)有一个明确的从问题情景中搜集信息的阶段；
(4)在执行解题操作的过程中，很少参看问题情景中的线索。
等级4：直觉水平
作为解决问题技能的一个高级水平，这里的直觉是指“人在复杂的问题情景中不经过有意识的推理而快速地获得解答方案”。直觉通常出现在问题比较复杂、又需要很快作出反应的情况下。
专家之所以能够很快地解决问题，是因为他能够准确地再认熟悉的组块，然后据此在长时记忆中提取相应的知识解决问题。也就是说，直觉也是建立在线索再认的基础之上的。然而，与条件再认水平和顺向推理水平不同，直觉水平下的线索再认是在复杂的问题情景中进行的，并且通过再认可以快速得到问题的解答方案，甚至直接得到最终的结果。此外，在基于直觉的解决问题中，个体通常不能解释他获得解答的思维过程。
等级5：建构水平
在前面四个认知技能水平中，涉及的都是常规问题。这些问题具有明确的初始状态和目标状态，已经获得的过程性知识可以提供将初始状态转化为目标状态的操作。在信息加工心理学中，这类具有明确初始状态、目标状态和操作的问题被成为“结构良好的问题”（well structured problem）。
然而，在日常生活中，还存在大量非常规问题，例如，因为某种突发性事件，要在某条河上快速建一座桥。这类问题一般都是“结构不良的问题”（ill structured problem）。例如，对建桥的问题来说，只有目标是明确的，对这条河的水文、地质等情况（初始状态）和可以采用的建桥方法（操作）都不清楚。这是一种典型的结构不良问题。
在学科领域中，主要有三种结构不良的问题：初始状态不明确的问题、目标状态不明确的问题和操作不明确的问题。这三种问题的特点和解决方法如下：
(1)初始状态不明确的问题：这种问题通常被称为“完型问题”，如英语中的完型填空、几何中需要添加辅助线才能解决的证明题等。解决这种问题时，应该从目标状态出发，对不明确的初始状态进行补充和完善，并在此基础上进行具有明确指向性的搜索。
(2)目标状态不明确的问题：这种问题通常被称为“开放问题”，如几何中只给出已知条件、没有给出求证结论的证明题，代数或物理中只给出已知条件、没有给出求解目标的计算题。解决这类问题时，应该首先确立一个目标，然后从初始状态出发，实现这一目标，并在此基础上扩展到其他目标。
(3)操作不明确的问题：这类问题虽然具有明确的目标状态和初始状态，但现有的陈述性知识和过程性知识不能提供解题操作，需要产生新的操作来解决这些问题。结构不良问题的解决包含一个建构的过程，建构的内容包括初始状态、目标状态、以及解题操作等。由于问题的复杂性，这种建构经常表现出顿悟或灵感的特点，即在反复尝试失败的基础上，通过转换注意力或重新构造问题表征，突然间产生新的状态或新的操作。一旦获得这些状态或操作，原有的问题就被转化为结构良好的问题，从而迅速得到解决。
（四）数学学习兴趣和态度的阶段性特征
有效的数学学习来自于学生自主、主动地参与到学习活动中。大量研究结果表明：学生主动地参与到数学学习中去的程度，与学生最初接触到数学学习内容时所产生的情感因素密切相关。这些情感因素主要包括兴趣和动机、认识和态度等。从兴趣和动机来看，虽然不同学生具有较大的个别差异，但相同年龄阶段的学生却有着整体上的一致性，并且，不同年龄阶段的学生在整体上有着比较明显的差异。
根据大量的观察和实验结果，学生对数学学习的兴趣表现出如下的阶段性特征：
小学低年级的学生这一年龄段的学生更多地关注“有趣、好玩、新鲜”的事物，他们对与自己实际生活背景有关的数学内容或趣味性的数学内容容易产生兴趣，并因此愿意学习数学。
小学中、高年级这一年龄段的学生开始对“有用的数学”感兴趣，他们愿意在其他学科的学习和日常生活中应用数学，并因此感受到数学就在自己身边，数学是有用的。
初中学生这一年龄段的学生开始有比较强烈的自我意识，对与自己的经验相冲突的现象和具有挑战性的任务感兴趣。他们喜欢在探究性的问题和开放性问题中“做数学”，并在解决这些问题的过程中表现自我、发展自我。 |
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