（二）空间与图形领域

“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间，并进行交流的重要工具。教材注重将学生的视野拓宽到自己生活的空间，注重以现实世界中有关空间与图形的问题作为学习素材，使学生经历从现实生活中抽象出几何模型的过程，体验图形与现实世界的密切联系。教材中不仅包括人们所习惯的标准的平面图形，而且还包括大量空间中的问题，以及丰富多彩的图形世界，促使学生在对空间的把握、图形的探索、立体图形与平面图形的转化中发展空间观念。教材突出用观察、操作、想像、思考等多种方式探索图形的性质、图形的运动、图形的位置、图形的度量等，使学生体验更多的刻画现实世界和认识图形的角度和工具。

1．图形的认识

对一些基本图形的认识无疑是空间与图形领域中的重要内容。教材注重使学生在现实世界中积累的有关图形的经验的基础上，认识常见的立体图形和平面图形；在丰富的现实背景中，通过观察、操作、比较、概括等活动体验常见图形的性质，并运用它们解决实际问题；在观察物体、拼摆图形、设计图案等活动中，建立空间观念；欣赏丰富多彩的图形世界，体会图形在现实世界中的广泛存在。

（1）经历从现实情境中抽象出图形的过程，从立体图形到平面图形展开学习

空间与图形的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中有着极其广泛的应用，教材注重以现实世界中有关空间与图形的问题作为学习素材（不仅包括人们所习惯的标准的平面图形，而且包括丰富多彩的现实世界中的二维和三维图形），使学生从生活的空间中“发现”这些图形，经历从现实源泉中抽象出数学模型的过程，体验图形与现实世界的密切联系。

由于在日常生活中最先接触的是各种各样的物体，在孩子们玩的积木中有许多正方体、长方体、圆柱体；他们见到的楼房、砖头、纸盒、箱子、书等，更是给他们以长方体的形象；他们从小玩的皮球给了他们球的直观形象。因此，教材对图形的学习是从认识立体图形开始的。在一年级上册“认识物体”单元中，教材呈现了学生熟悉的多种物体，并让学生进行分类。在分类活动中，学生将抽象并直观认识正方体、长方体、圆柱、球等立体图形。然后，在一年级下册“有趣的图形”单元中，教材通过“画（印）出立体图形的某个面”的活动，得到了正方形、长方形、三角形，圆等平面图形。这种安排从具体到抽象，从实物到模型，从整体到局部，符合儿童的生活经验，也初步揭示了立体图形与平面图形的关系。

（2）精心设计观察物体等内容，更好地发展学生的空间观念

发展学生的空间观念是空间与图形课程的核心目标。为了促进学生对空间的理解和把握，仅仅依靠平面图形是不够的，应设置与学生经验密切相关的空间的内容。教材在整个小学阶段设计了“观察物体”的系列内容，从观察身边的物体入手，使学生认识到一个物体从不同的角度观察，所观察到的图形可能是不同的，这是学生从三维空间到二维空间的过渡。进一步，教材分层次安排了从不同方向观察同一物体的内容，如表示出从正面、侧面、上面观察到的物体和立体图形的平面图形，根据观察到的平面图形还原物体和立体图形；由远及近、由下至上观察物体，感受观察范围的改变，使学生在观察、操作、想像、思考、交流的过程中，不断发现实物与他们观察到的图形之间的联系，从而形成他们对三维空间与二维平面之间联系的看法。多种的观察角度和丰富的观察活动，为培养学生的空间感觉奠定了良好的基础。同时，这一内容又与学生的生活紧密联系，对于学生来说是有趣而富有挑战性的。

例如，在三年级上册“观察物体”单元中，教材设计了“搭一搭”的活动：笑笑已经用小立方体搭好了一个立体图形，淘气通过询问从正面、侧面、上面看分别是几个正方形，最终搭出同样的立体图形，并要求能尽可能少的提问。这个活动体现了立体图形与相应的平面图形的转化过程，是一个充满观察、实践、思考、想像、交流的丰富多彩的活动过程，是一个充满挑战性和趣味的活动过程。在这个过程中，学生不仅仅获得对空间的理解，而且在数学思考、情感态度等方面都将获得发展。又如，在第二学段的“观察物体”内容中，教材设计了一个有趣的情境：桌上摆满了朋友们送来的节日礼物，小狗贝贝好奇地想看个究竟。它先站在地上，接着抬起了前腿，然后跳上了凳子，最终爬上了桌子，在这个过程中，贝贝分别看到了什么？在这个有趣的问题中，学生将借助生活经验，想像从不同方向观察到的实物的形状，而这需要对空间有比较好的感觉。

（3）经历观察、操作、思考、想像、交流等活动，在活动中体验基本图形的基本性质

学生空间观念的发展、活动经验的积累、图形性质的体验等都是在数学实践活动中进行的。因此，教材设计了大量观察、操作、思考、想像、交流等活动，使学生在有挑战性的、充满想像和富含思考的过程中，体验图形的性质。这里需要强调的是学生动手操作的重要性。学生通过折叠、剪拼、画图、测量、建立模型、分类等活动，对图形的多方面性质（如度量性质、组合性质、稳定性质）有了亲身感受，这不仅为正式地学习图形的性质奠定了基础，同时积累了数学活动经验，发展了空间观念。亲身实践远比只是看一下要获得更多的对图形的“洞察”。例如，在对“平行四边形、三角形、梯形”的学习中，教材安排了用七巧板中的某些板分别拼平行四边形、三角形和梯形的活动。这是一个实践性较强、思考空间较大、综合性的活动，学生在探索和交流自己的方法的过程中，将进一步体会图形的基本特征，发展空间观念。

（4）了解并欣赏一些有趣的图形，感受图形世界的丰富多彩

传统教材往往局限于对规则图形的探讨。为了丰富学生对图形的认识，更好地理解现实空间，仅仅是规则图形是不够的，教材为学生提供了丰富多彩的图形世界，以开拓学生的视野，激发数学学习的兴趣，感受图形世界的神奇。

例如，在三年级下册“对称、平移和旋转”单元中，教材设计了一个十分有趣的活动：在一张正方形纸的一角上画一个点，以这个点为中心将正方形不断旋转相同的角度，描下每次旋转后的图形，最终你会得到一个神奇的图形。在这个活动中，通过对简单图形不断地进行旋转，就能得到“意想不到”的结果，学生将从中感受到图形世界的丰富多彩，产生学习图形的兴趣。又如，教材还安排了“神奇的带子”的实践活动，通过制作莫比乌斯带，然后对它进行有趣的实验，学生将认识图形世界的神奇。

2．图形的测量

人们在现实生活中经常会遇到测量问题，对于测量的学习表明了数学的价值和实际应用。同时，测量的过程也提供了一个学习和应用其他数学知识（包括数与运算、图形、统计等）的机会。在传统的数学教材中，图形测量的学习主要集中于度量单位的换算和根据公式进行计算，学生往往不了解建立度量单位的必要性，对度量单位的实际意义没有体验，也缺乏根据实际问题进行测量的亲身实践。为了改变这一状况，按照《标准》的要求，教材强调建立度量单位的必要性，注重量及度量单位的实际意义，重视估测及其在现实生活中的作用，同时明确要求学生在测量过程中，学会根据实际问题选择合适的测量方法、工具和度量单位。

（1）在具体情境中，注重对所测量的量的实际意义的理解

对于周长、面积、体积等的学习，首先应理解它们的意义。这并不等同于记忆它们的定义，而是在具体情境中，体会其实际意义。

例如，在三年级上册“周长”单元中，教材首先强调对周长含义的体会。结合“小蚂蚁沿树叶的边缘爬过一周”的有趣情境，直观说明周长的含义。进一步，教材安排了描出树叶、图案的边线，摸一摸课桌面、数学书封面的边线，量一量你的腰围和头围，量一量树叶、图形的周长，比较不同图形周长等活动，丰富学生对周长的感性认识。

（2）经历用不同方式进行测量的过程，体会建立度量单位的必要性

对于度量单位的学习，首先应在实际测量活动中，使学生体会到建立度量单位的必要性。为此，教材提供了大量实际测量的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在彼此交流的过程中体会到建立统一的度量单位的必要性。

例如，一年级下册“观察与测量”单元中对于长度单位的学习，教材设计了用不同的工具测量课桌长度的活动。有的学生用铅笔测量，得到6枝铅笔长；有的学生用文具盒测量，得到3个文具盒长；有的学生用手??测量，得到4??长……然后，提出“为什么他们说的数不同？该怎么办呢？”的问题，鼓励学生交流各自的测量结果。使他们在互相比较结果的过程中，体会到为了方便交流的需要，必须有统一的度量单位。在此基础上，再认识标准的度量单位（厘米）。这样的设计，使学生体会到建立统一度量单位的必要性，产生继续学习的愿望，获得了对度量单位实际意义的初步认识。

（3）在测量过程中，理解度量单位的实际意义

学生还需要通过实际活动建立对度量单位实际意义的体验，教材为此设计了丰富多彩的活动。例如，在三年级下册“面积”单元中，教材设计了让学生说一说自己身边哪些东西的面积大约是1厘米、1分米2、1米2的活动，使这些单位变得直观、具体。在对“体积单位”的学习中，教材安排了切一个体积是1厘米3的正方体、制作一个体积是1分米3的正方体、搭出一个体积是1米3的空间物体等活动，使学生在具体实践中，获得对体积单位的直观体验。在此基础上，教材还设计了根据实际问题选择合适的体积单位的问题，进一步加深学生对其的理解。

单位换算仍是图形测量中的重要内容，但教材注重探索度量单位之间的关系，使学生对这种关系有直观的体验。当然，学生还应能进行简单的单位换算，但教材控制了换算的复杂程度。例如，在三年级下册“面积”单元中，教材创设了“铺地面”的问题情境，鼓励学生探索1分米2与1厘米2的换算关系。先让学生估计1分米2里有多少个1厘米2，再通过直观操作或计算来检验原先的估计是否正确，从而确认1分米2＝100厘米2的换算关系。学生经历这个过程之后，就可能类似地推出1米2＝100分米2、1米2＝10000厘米2等结论。

（4）重视估测

在测量的学习中，应始终重视估测的重要性。估测有助于儿童理解测量的特征和过程，并获得对度量单位大小的认识。学生在估测方面的能力只有通过实践才能发展，他们将在实际问题中发展估测的策略，积累根据问题确定精确度的经验。

例如，教材在对长度单位的学习中，安排了估计身高、步长、前臂长、凳子的长度等活动；对周长的学习中，安排了估计黑板面的周长、数学书封面的周长、你的鞋底的周长等活动；对面积的学习中，安排了估计数学书封面的面积、图形的面积、教室地面的面积、学校操场的面积等活动。这些活动将加深学生对量及其单位实际意义的理解，发展学生灵活运用知识解决实际问题的能力。

（5）探索规则图形的面积、体积公式，并能应用公式解决实际问题

掌握规则图形的面积和体积公式，仍然是图形测量内容的重要方面，但教材不将主要精力放在套用公式进行计算上，以避免将这部分内容简单地处理为计算问题。实际上，对于规则图形面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生解决实际问题，并且对于学生认识图形的特征和图形间的相互关系，发展空间观念也是大有好处的。例如，对于“长方体体积”的探索，教材首先从对几个长方体体积的对比中，鼓励学生思考长方体的体积可能与什么有关，激发他们进一步探索的兴趣；然后用一些棱长都是1厘米的小正方体摆出几个不同的长方体，分别记录每一个长方体的长、宽、高和体积的相关数据；通过观察、比较这些数据，发现长方体体积与长、宽、高的联系，从而建立长方体体积的计算公式。在这个过程中，学生经历了猜测、观察、操作、归纳、建立数学模型的数学发现的过程。

学生学习了规则图形的面积、体积公式后，还要能利用它们解决一些实际问题，例如在学习了“长方体的表面积”后，教材安排了包装火柴盒的实践活动。

（6）探索不规则图形及物体的测量方法

对于图形测量方法的学习，不能仅仅停留在规则图形上，学生还应有机会尝试探索不规则图形及物体的测量方法。实际上，在这些探索活动中，学生不仅将进一步发展对面积、体积等意义的理解，还将初步体验一些重要的思想方法。

为此，教材安排了“估计自己鞋印面积”的活动。学生可以在鞋印上画出透明的正方形格子，由此进行估计。对于感兴趣的学生，教师还可以引导他们计算出鞋印覆盖住的整方格数，由此得到鞋印面积的不足近似值；再计算出被鞋印接触过的所有方格数，由此得到鞋印面积的过剩近似值，鞋印的实际面积介于二者之间。根据经验，学生还可能认识到方格分得越细，不足近似值和过剩近似值越接近，这种认识实际上蕴涵了微积分的基本思想。教材还安排了“有趣的测量”的活动，鼓励学生探索如何测量不规则物体的体积。在这些测量活动中，学生将综合运用生活经验、数学知识、其他学科的知识，经过观察、操作、推理、交流，发展解决实际问题的能力及数学思考的能力。

3．图形与变换

小学阶段，学生之所以要学习这部分内容，是因为现实世界中存在着大量有关图形变换的现象，人们很容易从现实生活中列举出图形变换的事实。了解这些现象的基本特征，体验变换的整体特征，从变换的角度欣赏图形、设计图案，体验变换在现实生活中的广泛应用是本部分内容学习的主要目标，这对于学生认识丰富多彩的现实世界，形成初步的空间观念，了解图形之间的联系，以及感受与欣赏图形美都是重要的。

（1）在生活情境中认识变换现象，能在方格纸上画出一个简单图形经变换后的图形

其实，学生很早就有了物体或图形运动的经验，他们通过折纸、转风车、照镜子等获得诸如平移、旋转、反射等的体验。生活中的许多现象，如旗帜升起、螺旋桨转动等，以及建筑、植物（如枫叶）、动物（如蝴蝶）等物体为学生认识平移、旋转、反射提供了丰富的素材。教材利用学生的这些生活经验，列举了大量生活中的变换现象，使学生通过观察、操作、想像、思考、交流等活动，认识变换现象，整体感受变换现象的特征。前面所举的对称图形的例子正说明了教材的此种特点。在整体感受变换现象特征的基础上，教材还设计了尝试在方格纸上画出一个图形（包括一些有趣的图案）经变换后的图形的内容。

（2）欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计

学习图形与变换内容的一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界。学生应能在生活中发现并欣赏变换的应用，并运用变换的知识分析有关现象，进一步体会数学对人类社会的作用，体会数学的文化价值。例如，教材呈现了在生活中随处可见的美丽图案，学生在观察这些图案时，将发现其中包含的熟悉的图形；将运用数学的眼光分析图案的组成，如是否运用了变换；将欣赏这些各具特色的图案，发现其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美；将以此为启发，发挥自己的个性和创造力，亲自动手设计图案以灵活运用所学知识和技能，并从中体会创造的乐趣与艰辛，领略图形世界的神奇。

（3）能利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似

在传统的数学课程中，图形的相似是初中才学习的内容，并且其侧重点主要放在了利用三角形相似的条件和性质证明一些图形问题上，学生往往对相似在生活中的应用缺乏体会，也缺乏对图形相似（不仅仅是三角形相似）的丰富的直观经验。实际上，图形的放大与缩小给了学生体会相似的最直接的经验。当学生在方格纸上，将一个图形各边按比例放大或缩小时（保持角不变），学生将观察到变换前后图形在形状上、度量上的关系，这为认识图形的相似奠定了感性基础。因此，教材以图形的放大或缩小为素材，为学生提供了丰富的情境和活动，在这些活动中，学生将体会图形的相似。

4．图形的位置

确定位置的内容，与学生的生活经验紧密联系，同时也为学生提供了一个观察空间的新视角。这部分内容的主要目标是使学生探索确定图形或物体位置的方法，并能进行简单应用。

在学习这部分内容的初期，学生将尝试辨认物体的方向，会看懂自己生活环境的路线图，这既是一种基本生存能力，也是学生从熟悉的环境中建立空间观念的一条有效途径。教材在一年级上册中安排了“位置与顺序”的单元，使学生理解物体的前后、上下、左右的概念，同时在观察教室的活动中，又综合运用这些概念。教材在二年级上册中安排了“方向与位置”的内容，主要是辨认东、南、西、北，并结合实际情景，让学生说一说生活环境中建筑物所处的方向。教材在二年级下册中安排了“方向与路线”的内容，进一步辨认东南、东北、西南、西北的方向，并结合生活中的交通图、游乐园的情境，说一说行走的路线，设计一些简单的路线图。

在此基础上，学生将在具体的情境中，探索如何用数学语言来描述物体或图形的位置。教材在第二学段“方向与位置”的内容中，通过呈现生活中大量确定位置的素材（如班级中学生座位的位置、学校附近地点的位置、小动物的位置、大本营附近地点的位置、舰队相对于观测点的位置、地图中城市的位置），使学生从中抽象出用数学语言描述物体位置的方法，并用以解决简单的实际问题。

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